早期量子论
黑体辐射
辐射本领：$r(\lambda, T)=\dfrac{dE(\lambda,T)}{d\lambda}$
总辐射本领：$E(T)=\int_0^\infty r(\lambda,T)d\lambda$
吸收本领：$\alpha(\lambda, T)$ 为吸收的辐射能入射的辐射能的比值
基尔霍夫辐射定律：任何物体在同一温度下的辐射本领和吸收本领成正比，比值与物体性质无关，只和波长 $T$ 和温度 $T$ 相关。
黑体的总辐射本领和绝对温度的四次方成正比：
\[E(T)=\sigma T^4\]维恩位移定律： $T\lambda_m=b$ 温度和辐射最高的波长成反比。
康普顿散射
\[\Delta \lambda=2\dfrac{h}{mc}\sin^2\dfrac{\theta}2\]$m$ 只被散射粒子的质量，通常为电子（入射X射线光子和散射物质核外电子碰撞），质量为
$9.109 \times 10^{−31} \text{kg}$。
$2\dfrac h{mc}$ 为 $0.0485 \text{A}$
波尔氢原子理论
量子化条件：氢原子中允许的定态是电子绕核圆周运动的角动量
\[mvr=n\hbar (n=1,2,3)\] \[\hbar=\dfrac{h}{2\pi}\]电子能量：$E=\dfrac 1 2 mv^2-k_e\dfrac{e^2}r=-k_e\dfrac{e^2}{2r} \propto -\dfrac 1 r$
电子轨道半径 $r_n \propto n^2$
第 $n$ 个轨道的能量为 $E=Rhc\dfrac 1{n^2}$
量子力学基础
德布罗意物质波
对于物质粒子：
\[\varepsilon=h\nu\] \[p=\dfrac h \lambda=\dfrac \varepsilon c\]不确定关系
对于粒子：
\[\Delta x \Delta p_x \ge h\]对于电子能级：
\[\Delta E\Delta t \ge h\]对于波：
\[\Delta x\Delta k \ge 2 \pi\] \[\Delta t \Delta \omega \ge 2\pi\]波函数
$\varphi(x,y,z,t)\varphi(x,y,z,t)^\ast$ 表示粒子在时刻 $t$， $x, y, z$ 附近单位体积内出现的概率密度，$\int\varphi\varphi^\ast\mathbf{d}x=1$。
薛定谔方程
一维自由空间粒子的薛定谔方程：
\[i\hbar\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}\]一维势场中的粒子的薛定谔方程：
\[i\hbar\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+U(x)\Psi\]对于多维，把 $\dfrac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}$ 替换成 $\nabla^2\Psi$。
这一方程可以这样记忆：把经典的能量，动量关系应用到波函数上，然后做替换
\[E \to i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}, \mathbf{p} \to i\hbar\nabla\]例如，对于在势场中的粒子，$E=\dfrac 1 {2m}p^2+U$，则 $E \Psi=\dfrac 1 {2m}p^2\Psi+U\Psi$，然后做替换，得到
\[i\hbar\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+U(x)\Psi\]定态薛定谔方程
对于不随时间变换的势能 $U(x)$ ，波函数可以时空分离
\[\Psi(x,t)=\psi(x)T(t)=\psi(x)e^{-{\frac{iE}{\hbar}t}}\]其中 $\psi(x)$ 满足：
\[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(x)+U(x)\psi(x)=E\psi(x)\]这一方程同样可以类似地记忆：哈密顿量为坐标和动量表示的总能量，$H=\dfrac 1{2m}p^2+U$，定态薛定谔方程可以写为 $\hat{H}\psi(x)=E\psi(x)$，其中 $\hat{H}$ 称为哈密顿算符，其中的动量算符为 $\mathbf{p} =i\hbar\nabla$。
无限深势阱中的定态薛定谔方程
基本思路：
- 设定势能函数：首先，定义势能函数 $U(x)$，在无限深方势阱模型中，这个函数在阱外为无限大（粒子无法存在于这些区域），在阱内（区间 $0 < x < L$）为零。
- 应用薛定谔方程：在阱内（$U(x)=0$），使用薛定谔方程的时间无关形式。这个方程是一个二阶线性微分方程。
- 考虑边界条件：波函数 $\psi(x)$ 必须满足特定的边界条件，例如在阱的边界（$x=0$ 和 $x=L$）处波函数为零，因为在阱外粒子的存在概率为零；波函数连续并且波函数的导数连续。
- 求解波函数：求解微分方程，得到波函数的一般形式。这通常涉及三角函数（正弦和余弦），因为它们在给定的边界条件下可以满足方程。
- 量子化条件：由于边界条件，波函数的形式将被量子化，即只有特定的波函数（和对应的能量水平）是允许的。
- 归一化波函数：最后，根据物理要求（波函数的概率密度积分等于1）对波函数进行归一化处理。
考虑
\[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(x)+U(x)\psi(x)=E\psi(x)\]变换得到
\[\dfrac{\mathbf{d}^2\psi(x)}{\mathbf{d}x^2}-\dfrac{2m(U-E)\psi(x)}{\hbar^2}=0\]解二阶常系数常微分方程
考虑二阶常系数常微分方程：
\[\frac{d^2 f}{dx^2} + kf = 0\]其中 $k$ 是一个常数。这个方程的通解形式依赖于 $k$ 的值。根据 $k$ 是正数还是负数，解的形式会有所不同：
-
当 $k > 0$：方程的解是振荡型的，因为 $k$ 的正值导致了一个具有实数频率的谐振子方程。解的通用形式为：
\(f(x) = A\cos(\sqrt{k}x) + B\sin(\sqrt{k}x)\) 其中，$A$ 和 $B$ 是任意常数，$\sqrt{k}$ 是振荡的角频率。
-
当 $k < 0$：方程的解是指数型的，因为负的 $k$ 值导致了一个具有虚数频率的谐振子方程。为了解这个方程，我们可以将 $k$ 写为 $-\kappa^2$，其中 $\kappa$ 是正实数。解的通用形式为：
\(f(x) = Ce^{\kappa x} + De^{-\kappa x}\) 其中，$C$ 和 $D$ 是任意常数。
最后求得
\[\psi_n(x)=\sqrt{\dfrac 2 a}\sin\left(\dfrac{n\pi}ax\right)\] \[\Psi(x,t)=\sum_nc_n\Psi_n(x)e^{-i\frac{E_n}{\hbar} t}\] \[E_n=n^2\left(\dfrac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}\right)=n^2E_1\]粒子处于定态 $\psi_n(x)$ 的概率为 $\vert c_n \vert^2$， 粒子的平均能量为 $\sum_n\vert c_n \vert^2E_n$。
量子一维谐振子
\[U=\dfrac 1 2m\omega^2x^2\] \[E=(n+\dfrac 1 2)\hbar\omega\]$n=0$ 时的能量是谐振子的零点振动能。
势垒穿透（隧道效应）
粒子穿透概率：
\[D=\dfrac{16E(U_0-E)}{U_0^2}e^{-{\frac 2{\hbar}}}\sqrt{2m(U_0-E)}a\]