洛伦兹变换

\[\begin{cases} \gamma=\dfrac 1{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} \\\\ x^\prime=\dfrac{x-vt}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}=\gamma(x-vt) \\\\ y^\prime=y \\ z^\prime=z \\\\ t^\prime=\dfrac{t-\dfrac{vx}{c^2}}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}=\gamma(t-\dfrac{vx}{c^2}) \end{cases}\]

逆变换时，直接互换变量即可，但记得 $v$ 要变成 $-v$。

时间膨胀

\[\Delta t=\gamma \Delta t^\prime\] \[\Delta t=(t_2-t_1)=\gamma\left[(t_2^\prime-t_1^\prime)+\dfrac{v}{c^2}(x_p^\prime-x_p^\prime)\right]=\gamma(t_2^\prime-t_1^\prime)=\gamma \Delta t^\prime > t^\prime\]

$t_p$：固有时，在某一参考系同一地点发生的两个事件之间的时间间隔，是静止于此参考系的同一时钟测量的。

长度收缩

\(\Delta l=\dfrac{\Delta l_p}\gamma\)

速度变换

\[\begin{cases} u_x^\prime=\dfrac{u_x-v}{1-\dfrac{vu_x}{c^2}} \\\\ u_y^\prime=\dfrac{u_y}{\gamma\left(1-\dfrac{vu_x}{c^2}\right)} \\\\ u_z^\prime=\dfrac{u_z}{\gamma\left(1-\dfrac{vu_x}{c^2}\right)} \end{cases}\]

质量和能量

\[m=\gamma m_0\]

$E_0=m_0c^2$ 为静止能量，总能量 $E=E_0+E_k=mc^2=m_0c^2+E_k$

故动能 $E_k=E-E_0=mc^2-m_0c^2=(\gamma-1)m_0c^2$